"APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL"

Curvas en R (n)

Una aplicación F : I R n , donde I es un subconjunto de R se llama una función vectorial. Puesto
n que para cada t I , F ( t ) R , entonces

F ( t ) = ( f ( t ) , f ( t ), ..., f ( t ) )
1 2 n


Las funciones f : I R , i = 1, 2, ... n son las funciones componentes de F . Es por ello que todas
i
las propiedades de F , como veremos, reposan en las propiedades de las funciones componentes.

Ejemplos:


n 1 . F ( t ) = P + tA , t R , P y A vectores fijos de R es una función vectorial que representa una
recta en R n .
2 . F ( t ) = ( cos t , sent ), t R es una función vectorial que representa una circunferencia de
2 centro cero y radio uno en R .

3 . F ( t ) = ( t , t 2 ), t R es una función vectorial que representa una parábola

La imagen F ( I ) es un subconjunto de R n y determina una curva en él. Es claro que que una curva
n en R puede estár determinada por diferentes funciones vectoriales, por ejemplo:
( ) ( )
( ) ( ) a t = t , t , t = 0 y ß t = t , t , definen la misma curva en en R 2 . No obstante, 2 2 4
aunque es un abuso, para simplificar la escritura, identificaremos la curva con la función que la
define.

*****Operaciónes algebraicas ******

Definimos las siguientes operaciones entre funciones vectoriales:
1 . ( F + G )( t ) = F ( t ) + G ( t ), t I , F y G funciones vectoriales.



( u . F ) ( t ) = u ( t ) . F ( t ), t I , F una función vectorial y u : I R .

3 . F , G ( t ) = F ( t ), G ( t ) , t I .

( F × G )( t ) = F ( t ) × G ( t ), t I , F y G funciones vectoriales con valores en R 3 .
5 . ( F ° u )( t ) = F ( u ( t ) ), t I , F una función vectorial y u : I R .

******Derivabilidad de funciones vectoriales****

La derivada de funciones vetoriales se define de la misma manera como la conocemos para funciones
de variable y valor real. Así:




F ( t + a ) - F ( a ) ' F ( a ) = lim (2.2.2)
t
t a

La derivada de una función vectorial r es
r'(t) = lim 1/t [r (t +t) - r(t)]

TEOREMA
Si r(t)= <>, en donde f,g,h son diferenciables, entonces
r'(t) =<>

***Integración**

La integración de funciones vectoriales la definimos así
( )
b b b
F ( t ) dt = f ( t ) dt f ( t ) dt

Como en el caso de funciones de variable y valor real, tenemos acá los teoremas fundamentales del cálculo que enunciaremos sin demostración pues ésta sigue los mismos pasos que la que conocemos en
los primeros cursos de cálculo.

******Continuidad de funciones vectoriales ******

n Definición: Sea F : I R una función vectorial. Decimos que F es continua en a I ,
{ }
si para toda secuencia t I , tal que t a , se cumple que F ( t ) F ( a ).
n n n

Limites y continuidad

La función fundamental de limite de una función vectorial se define en términos

de los limites de las funciones componentes
Lim r(t) = lim f(t), lim g(t), lim h(t)

TEOREMA
Si lim t a r1(t) = L1 y lim t a r2 (t) = L2 entonces
Lim C r1 (t) = CL1, C en donde C es un escalar
t a
(ii) lim [ r1 + r2 (t) = L1 + L2 ]
t a
lim r1 . rt2 = L1 . L2

lim F ( t ) = ( lim f ( t ), ..., lim f ( t ) )
k 1 k n k

k k k